ВОПРОСЫ ПРЕДПРИНИМАТЕЛЬСТВА И ЭКОНОМИКИ


УДК 330.3, 330.4


В. И. Быков,
доктор физико-математических
наук, заведующий кафедрой
математики и информационных
технологий, Московская академия
предпринимательства при
Правительстве Москвы. Россия;
е-mail: bykov@mosap.ru И. Е. Старостин,
кандидат технических наук, старший
научный сотрудник Военно-воздушной
инженерной академии
им. Н. Е. Жуковского, Москва, Россия;
е-mail: vvia@inbox.ru
Квазиградиентные модели
нелинейной экономической
динамики

Аннотация

Цель работы. Разработка метода замены переменных, который позволит работать с удобными для практи- ки и теоретического анализа переменными величинами, а также разработка принципа декомпозиции системы.

Материалы и методы. Предлагается квазиградиентный метод моделирования динамики экономических систем. Сложная система разбивается на взаимодействующие простые подсистемы. Динамика установления экономического равновесия определяется градиентом обобщенного экономического потенциала.

Результат. Созданный метод моделирования и анализа системы подразумевают знание движущих эко- номических сил – потенциальных величин и матрицы восприимчивостей системы к этим силам. Матрицы вос- приимчивостей определяют реакцию системы на действующие в ней силы – восприимчивость системы к этим силам. Этой реакцией являются скорости протекания нестационарных экономических процессов – потоковые величины.

Заключение. Результаты исследования могут быть использованы для практического или теоретического изучения скорости протекания нестационарных экономических процессов.

Ключевые слова: математическое моделирование, экономическая динамика, квазиградиентный метод, потенциально-потоковый метод, декомпозиция систем.


В соответствии с положениями современной экономической теории и математической экономики динамика сложных экономических процессов вызывается обобщенными экономическими потенциалами [1, 9, 10, 11]. Если в системе все движущие силы уравновешивают друг друга или равны нулю, то система находится в состоянии экономического равновесия [1, 3, 9, 10, 11, 13].

Здесь уместно использовать аналогию с современной неравновесной термодинамикой, из которой известно, что термодинамические силы определяются как частные производные функции свободной энергии (энтропии) [1, 3, 9, 10, 11, 13]. В соответствии с энергетическим смыслом свободная энергия – это та часть внутренней энергии системы, которая тратится на протекание неравновесных процессов и совершение системой полезной работы над внешними системами [13]. Поэтому работа термодинамических сил равна убыли свободной энергии, расходуемой на протекание неравновесных процессов.


Потенциально-потоковый метод моделирования

Величины характеризуют состояние исследуемой экономической системы. Они являются параметрами состояния исследуемой системы. Обозначим через число этих величин – число степеней свободы системы. Протекание неравновесных процессов зависит также и от фиксированных условий протекания неравновесных процессов.

Пусть в общем случае протекание экономических процессов в системе описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), записанной в общем виде:

(1)

Любая замкнутая система приходит в состояние равновесия [5]. Поэтому система (1) асимптотически устойчива. Для любой асимптотически устойчивой системы ОДУ (1) существует функция Ляпунова [15], которая согласно своему определению выпуклая в окрестности состояния устойчивого равновесия и монотонно убывающая в силу системы (1) [16], а значит, является по определению функцией свободной энергии (экономическим потенциалом) [1, 3, 9, 10, 11, 12, 13]. Напомним, что убывание термодинамического потенциала в силу (1) является содержанием второй части второго начала термодинамики [5, 13].

В состоянии устойчивого равновесия замкнутой системы экономический потенциал принимает минимальное значение, а значит, находится в состоянии равновесия:

(2)

Отсюда:

(3)

где оператор является причиной и необходимым условием протекания неравновесных процессов, так как (2) эквивалентно условию:


Однако одни только экономические потенциалы не дают возможности анализировать и моделировать неравновесные процессы, помимо них нужны величины восприимчивостей каждого процесса к этим силам. Такими величинами являются коэффициенты матрицы:

(4)

где произвольная система векторов в состоянии выбрана таким образом, что:


для любого состояния , а система векторов произвольная, а также эти системы векторов и выбираются таким образом, что матрица (4) положительно определена (возможность такого выбора показана в [8]). Согласно (4) получим:

(5)

Из уравнения (5) видно, что матрица характеризует восприимчивость неравновесных процессов к динамическим силам, а потому носит название матрицы восприимчивостей.

В силу положительной определенности матрицы ее диагональные элементы положительны. Они характеризуют восприимчивость протекающих процессов (изменений каждой координаты xi) к соответствующим сопряженным силам . Перекрестные коэффициенты матрицы могут быть как положительными, так и отрицательными – они характеризуют восприимчивость процессов (изменений каждой координаты xi) к несопряженным им силам. Несопряженные силы могут как способствовать процессу, так ему и препятствовать. С помощью матрицы восприимчивостей удобно анализировать перекрестные эффекты.

Из положительной определенности матрицы следует соответствие системы уравнений (5) второму началу термодинамики. Отсюда полученная математическая модель (5) необратимых процессов отражает физическое содержание моделируемых явлений, обусловленное вторым законом термодинамики.


Замена переменных

До сих пор в качестве динамических переменных использовались параметры состояния [13], характеризующие состояния экономической системы (например, число хозяйствующих субъектов, количество производимой продукции в данной области пространства, внутренняя финансовая энергия и т.п.). Однако на практике и при теоретическом анализе удобно пользоваться величинами не обязательно являющимися параметрами состояния системы, приращения которых связаны с приращениями параметров состояния:

(6)

где


в силу взаимной однозначности приращений и . Приращение в свободной энергии равно:

(7)

отсюда движущие экономические силы, соответствующие этим приращениям , аналогично (3) определяются выражением

(8)

где – отношение приращения свободной энергии , вызванного приращением координаты при условии (6) и условии к этой координате. Cогласно (6), (7) и (8) получим связь между силами и :

(9)

Используя (5), (6), (8) и (9), нетрудно получить уравнение для скоростей , аналогичное (5):


отсюда, введя матрицу:

(10)

получим окончательно:

(11)

Уравнение (11) является более практичным в использовании, чем уравнение (5), так как на практике и при теоретическом анализе пользуются, как отмечалось выше, именно величинами , а не .


Декомпозиция систем

В сложных экономических системах имеют место процессы различной природы, перечисленные в постановке задачи. Как правило, при исследовании сложных систем прибегают к декомпозиции. Поэтому необходимо каждую совокупность сопряженных между собой процессов, не сопряженных с другими процессами, не входящими в эту совокупность, рассмотреть отдельно, записав для нее систему (11). Затем, пользуясь уравнениями (11), записанными для каждой совокупности перекрестных процессов, получить систему (5) или (11) для всей системы.

Приращение можно представить следующим образом:

(12)

где – изменение параметров в j­й совокупности перекрестных процессов; N– число совокупностей перекрестных процессов.

Каждый процесс накладывает связь на величины . Пусть – вектор независимых приращений (размерность вектора равна mj – числу степеней свободы j­й совокупности перекрестных процессов). Величины и связаны между собой аналогично (6)


(13)

Согласно (12) и (13) можно записать


(14)

Приращение свободной энергии согласно (3) и (14) равно



отсюда движущие силы j­й совокупности перекрестных процессов, сопряженные этим приращениям , аналогично (4) определяются следующим образом:


(15)

где – отношение приращения свободной энергии,


вызванного приращением координаты при условии к приращению этой координаты. Уравнение (15) аналогично уравнениям (8), (9). Движущие экономические силы в каждой j-й совокупности перекрестных процессов однозначно определяются силами системы.

Для каждой j-й совокупности перекрестных процессов в силу отсутствия сопряженности с другими процессами, не входящими в эту совокупность, можно записать аналогично (11)

(16)

Используя (14)–(16), получим уравнение для скорости:


отсюда матрица восприимчивостей сложной системы:

(17)

Отсюда получим уравнение (5) для сложной системы.

Таким образом, зная из наблюдаемых экономических данных матрицы восприимчивостей простых подсистем, нетрудно с помощью (17) определить матрицу восприимчивостей всей системы. Рассмотренный принцип декомпозиции дает возможность анализировать сложную систему, зная из эксперимента матрицы восприимчивостей каждой j-й совокупности перекрестных процессов и свободную энергию системы.

Итак, мы ввели величину матрицы восприимчивостей экономической системы и на ее основе создали модель (6), разработали метод замены переменных, дающий возможность работать с удобными для практики и теоретического анализа переменными, а также разработали принцип декомпозиции системы. Такой метод моделирования и анализа системы назван потенциально-потоковым, так как анализ и моделирование системы подразумевают знание движущих экономических сил – потенциальных величин и матрицы восприимчивостей системы к этим силам. Матрицы восприимчивостей определяют реакцию системы на действующие в ней силы – восприимчивость системы к этим силам. Этой реакцией являются скорости протекания нестационарных экономических процессов – потоковые величины.


Литература

1. Агеев Е.П. Неравновесная термодинамика в вопросах и ответах / Е.П. Агеев. М.: Эдиториал УРСС, 2001. – 136 с.

2. Быков В.И., Цыбенова С.Б. Нелинейные модели химической кинетики. М.: КРАСАНД, 2011. – 400 с.

3. Гроот С.Р. Термодинамика необратимых процессов / С.Р. Грот. М.: Гос. изд­во технико­теоретической литературы, 1956. – 281 с.

4. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости / Б.П. Демидович. М.: Наука, 1967. – 472 с.

5. Жоу Д. Расширенная необратимая термодинамика / Д. Жоу, Х. Касас­Баскес, Дж. Лебон. М.: Изд­во Инст. компьютерных исследований, 2006. – 528 с.

6. Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 3. Теория неравновесных систем / И.А. Квасников. М.: Едиториал УРСС, 2010. – 432 с.

7. Красовский И.Н. Некоторые задачи теории устойчивости / И.Н. Красовский. М.: Гос. изд­во физико­математической литературы, 1959. – 211 с.

8. Крутов В.И. Техническая термодинамика / В.И. Крутов, С.И. Исаев, И.А. Кожинов / под ред. В.И. Крутова. М.: Высш. шк., 1991. – 384 с.

9. Куснер Ю.С., Царев И.Г. Принципы движения экономической системы. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2008. – 200 с.

10. Макаров В.Л., Рубинов А.М. Математическая теория экономической динамики и равновесия. М.: Наука, 1973. – 334 с.

11. Прасолов А.В. Математические методы экономической динамики. СПб.: Лань, 2008. – 332 с.

12. Пригожин И. Введение в термодинамику необратимых процессов / И. Пригожин. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. – 160 с.

13. Пригожин И. Современная термодинамика. От тепловых двигателей до диссипативных структур / И. Пригожин, Д. Кондепуди; пер. с англ. Ю.А. Данилова и В.В. Белого. М.: Мир, 2002. – 461 с.

14. Пригожин И. Химическая термодинамика / И. Пригожин, Р. Дефэй. Новосибирск: Наука, Сибирское отд., 1966. – 512 с.

15. Старостин И.Е. Моделирование неравновесных систем / И.Е. Старостин; под ред. В.В. Слабко. Красноярск: Изд­во СФУ, 2010. С. 187–192.

16. Халютин С.П. Потенциально­потоковый квазиградиентный метод моделирования неравновесных процессов / С.П. Халютин, И.Е. Старостин // Известия высших учебных заведений: Поволжский регион: Физико­математические науки. Пенза: Издание ПГУ, 2012. № 2. С. 25–35.

Свежий номер



Наши партнеры



Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации



Институт международного права и экономики имени А.С. Грибоедова